Derivaatta
Contents
Derivaatta¶
Differentiaalilaskennan keskeinen käsite on derivaatta, joka kuvaa funktion muutosnopeutta annetussa pisteessä.
Derivaatta voidaan määritellä algebrallisesti raja-arvona.
Seuraavassa kuitenkin määritellään derivaatta sen geometrisen tulkinnan kautta.
Derivaatan geometrinen tulkinta
Funktion f(x) derivaatta kohdassa \(x_0\) on sen kuvaajan tangentin kulmakerroin ko. kohdassa. Sitä merkitään \(f'(x_0)\)
Funktion derivaatan laskeminen annetussa pisteessä¶
Määritä käyrän \(y =f(x) = x^2 -1\) tangentin kulmakerroin kohdassa x = 2
Tarkastellaan pisteen (2,3) ja sen lähellä olevan pisteen \((2+h, (2+h)^2-1)\) kautta kulkevan sekantin kulmakerrointa
\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{(2+h)^2-1-3}{h}=\frac{(2+h)^2-4}{h}\)
Kun x-koordinaattien erotus h lähestyy arvoa 0, saadaan kulmakertoimen raja-arvona tangentin kulmakerroin
\(f'(2) = \underset{h\to 0}{lim}\frac{(2+h)^2-4}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\hspace{2mm}(h+4)=0+4=4\)
Em. raja-arvo voidaan laskea paitsi laskimella, myös sieventämällä osoittajaa:
\((2+h)^2 - 4 = (2+h)(2+h)- 4 = 4 + 2h + 2h + h^2 - 4 = h^2 + 4h\) =>
\(\frac{(2+h)^2-4}{h}= \frac{h^2+4h}{h}= \frac{h(h+4)}{h}=h+4\) , joka lähestyy arvoa 4, kun h-> 0
Käyrän derivaatan numeerinen määrittäminen (x,y) - datasta¶
Mm. fysiikassa tarvitaan menetelmää, jolla voidaan määrittää käyrän y = f(x) derivaatta annetussa kohdassa perustuen (x,y) dataan tarkasteltavan kohdan ympäristössä. Seuraavassa sovelletaan tätä menetelmää edelliseen esimerkkiin.
Määritä käyrän \(y =f(x) = x^2 -1\) tangentin kulmakerroin kohdassa x = 2 perustuen ao. taulukkoon funktion arvoista tarkastelukohdan ympäristössä.
x |
f(x) |
|---|---|
1.8 |
2.24 |
1.9 |
2.61 |
2.0 |
3.00 |
2.1 |
3.41 |
2.2 |
3.84 |
Menetelmä perustuu siihen, että säännöllisellä käyrällä tarkastelupisteen tangentin arvo on yleensä likimain sama kuin tarkastelupisteen molemmilta puolilta valittujen lähimpien pisteiden välisen sekantin kulmakerroin. Ts.
\(f'(2)\approx \frac{f(2.1)-f(1.9)}{2.1-1.9}=\frac{3.41-2.61}{0.2}=4.0\)
Derivaattafunktio¶
Derivaatan laskeminen kullekin käyrän pisteelle erikseen vaikkapa edellä esitetyllä raja-arvomenettelyllä on hankalaa. Se ei ole edes tarpeellista, jos löydetään käyrälle ns. derivaattafunktio eli lauseke, josta voidaan laskea käyrän tai funktion derivaatta missä tahansa kohdassa x.
Määritä käyrän \(y = x^2 - 1\) derivaattafunktio
Tarkastellaan käyrän mielivaltaisen pisteen \((x,x^2-1)\) ja viereisen pisteen \((x+h,(x+h)^2-1)\) välisen sekantin kulmakerrointa
\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{(x+h)^2-1-(x^2-1)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\)
Derivaatta kohdassa x saadaan kulmakertoimen raja-arvona kun h lähestyy 0:aa
\(f'(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\hspace{2mm}(h+2x)=0+2x=2x\)
Tulos: funktion \(f(x)=x^2-1 \) derivaattafunktio \(f'(x) = 2x\)
Em. raja-arvo voidaan laskea ilman laskinta sieventämällä osoittajaa:
\((x+h)^2 - x^2 = (x+h)(x+h)- x^2 = x^2 + 2xh + 2xh + h^2 - x^2 = h^2 + 2xh\) =>
\(\frac{(x+h)^2-x^2}{h}= \frac{h^2+2xh}{h}=\frac{h(h+2x)}{h}= h+2 x\) , joka lähestyy arvoa 2x, kun h-> 0
Derivaatan algebrallinen määritelmä¶
Merkitsemällä tarkastelupistettä, jossa derivaatta lasketaan \((x_0,f(x_0))\) ja viereistä pistettä \((x_0+h,f(x_0+h))\) = \((x,f(x)\), voidaan derivaatta laskea raja-arvona \(f'(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) tai yhtäpitävästi raja-arvona \(f'(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
Sekantin kulmakertoimen lauseketta \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) kutsutaan erotusosamääräksi
Derivaatan algebrallinen määritelmä
Funktion f(x) derivaatta kohdassa \(x_0\) on erotusosamäärän raja-arvo
\(f'(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
Derivaatan merkintätapoja¶
Funktion y = f(x) derivaattaa voidaan merkitä useilla tavoilla.
\(f'(x)\)
\(y'\)
Df(x)
\(\frac{dy}{dx}\)
\(\frac{df(x)}{dx}\)