Integraalifunktio
Contents
Integraalifunktio¶
Integrointi on derivoinnin käänteisoperaatio. Funktion f(x) integraalifunktio on mikä tahansa funktio F(x), jonka derivaatta on f(x). Integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen, sillä jos F(x) on funktion f(x) integraalifunktio, niin myös F(x) + C, missä C on mielivaltainen vakio, on f(x):n integraalifunktio,
Integraalifunktion määritelmä
Jos \(F'(x) = f(x)\) eli f(x) on funktion F(x) derivaatta, niin funktiota F(x) sanotaan funktion f(x) integraalifunktioksi.
Tällöin kaikki f(x):n integraalifunktiot ovat muotoa F(x) + C, missä C on mielivaltainen vakioa, jota sanotaan integroimisvakioksi. Funktion f(x) integraalifunktion määrittämistä sanotaan integroinniksi.
Merkintä:
\( \int f(x)dx=F(x) + C\)
(lukuohje: “integraali f(x) dee ex = F(x) + C”)
Esim. Laske \( \int 2x dx\)
\( \int 2x dx = x^2 + C\)
Perustelu: \(D (x^2+ C) = 2x\)
Esim. Laske \( \int cos(x) dx\)
\( \int cos(x) dx = sin(x) + C\)
Perustelu: \(D (sin(x)+ C) = cos(x)\)
Integroimiskaavat¶
Derivoimiskaavoista voidaan johtaa integroimiskaavoja.
Perusfunktioiden integroimiskaavoja
\( \int a dx = a x + C \hspace{40mm}\text{ vakiofunktion y = a integraali}\)
\( \int x^n dx = \frac {1}{n+1} x^{n+1} + C\hspace{27mm}\text{potenssifunktion }y = x^n\text{ integraali}\)
\( \int \frac {1}{x} dx = ln(x) + C \)
\( \int e^x dx = e^x + C \)
\( \int cos(x) dx = sin(x) + C \)
\( \int sin(x) dx = cos(x) + C \)
Integrointi on derivoinnin tapaan lineaarinen operaatio, mikä tarkoittaa, että mm. polynomi integroidaan termi kerrallaan siten, että potenssien kertoimet voi siirtää integraalimerkin eteen.
Integrointi on lineaarinen operaatio
\( \int (a f(x) + b f(x)) dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx\)
Esim. Laske \( \int (2 x^2 - 5x + 7)dx\)
Ratkaisu: Integroidaan x:n potenssi käyttäen potenssin integroimissääntöä
\( \int (2 \color{red}{x^2}\color{black}{ - 5}\color{red}{x}\color{black}{ + 7)dx = 2\color{red}{\frac {1}{3}x^3}\color{black}{ - 5}\color{red}{\frac {1}{2}x^2}\color{black}{ + 7}\color{red}{x}\color{black}{ + C}}\)
\(=\frac {2}{3}x^3 - \frac {5}{2}x^2 + 7x + C \)
Potenssin integroimissääntöä voidaan soveltaa myös integroitaessa \(\frac {1}{x^n} \) - tyypin funktioita, sekä juurilausekkeita, jotka voidaan esittää murtopotensseina
Esim. Laske \( \int \frac {1}{x^4} dx\)
Ratkaisu: Käytetään muunnosta \(\frac {1}{x^n} = x^{-n}\)
\( \int \frac {1}{x^4}dx = \int x^{-4}dx = \frac {1}{-3} x^{-3} = -\frac {1}{3 x^3} + C \)
Esim. Laske \( \int \sqrt{x} dx\)
Ratkaisu: Esitetään juuri murtopotenssimuodossa \( x^{\frac {1}{2}}\)
\( \int \sqrt{x} dx = \int x^{\frac {1}{2}}dx = \frac {1}{\frac {3}{2}} x^{\frac {3}{2}} = \frac {2}{3} x^{\frac {3}{2}} + C \)
Esim. Laske \( \int (2cos(x)-4 sin(x)+5e^x -3)dx\)
Ratkaisu:
\( \int (2cos(x)-4 sin(x)+5e^x -3)dx\)
= \(2 sin(x) + 4 cos(x) + 5e^x - 3x + C\)
Yhdistettyjen funktioiden integrointi¶
Yksinkertaisia yhdistettyjä funktioita ovat esimerkiksi tyyppiä g(ax+b) olevat funktiot, missä g(x) on jokin perusfunktio ja a x + b on lineaarinen sisäfunktio.
Yhdistetyn funktion derivoimissäännöstä \(D g(f(x)) = g'(f(x)) f'(x)\) voidaan käänteisesti johtaa integroimissääntöjä tavanomaisille integraaleille. Seuraavassa muutamia kaavoja.
Perusfunktioiden integroimiskaavoja
\( \int cos(a x) dx = \frac {1}{a} sin(a x) + C \)
\( \int sin(a x) dx = -\frac {1}{a} cos(a x) + C \)
\( \int \frac {1}{a x + b} dx = \frac {1}{a} ln(a x+ b) + C \)
\( \int e^{ax} dx = \frac {1}{a}e^{ax} + C \)
\( \int (a x + b)^n dx = \frac {1}{a} \frac {(a x + b)^{n+1}}{{n+1}} + C \)
Esim. Laske \( \int 3 e^{-4x}dx\)
Ratkaisu:
\( \int 3 e^{-4x}dx = 3 \frac{1}{-4}e^{-4x} =-\frac{3}{4}e^{-4x} + C \)
Esim. Laske \( \int 4 (2x+1)^5 dx\)
Ratkaisu:
\( \int 4 (2x+1)^5 dx = 4\cdot \frac{1}{2}\frac{1}{6}(2x+1)^6 =\frac{1}{3}(2x+1)^6 + C \)
Esim. Laske \( \int 5 sin(3x) dx \)
Ratkaisu:
\( \int 5 sin(3x) dx = 5\cdot \frac{1}{-3}cos(3x)=-\frac{5}{3}cos(3x) + C \)
Integrointi laskimella¶
Algebralaskimissa on integrointitoiminto.
WolframAlpha- laskimella edellinen esimerkki voidaan laskea komennolla
\(\color{red}{\text{integrate 5 sin(3x)}} \) , joka antaa vastauksen muodossa \(\color{blue}{-\frac {5}{3}cos(x)\text{ + costant}} \)