Määrätty integraali¶

Olkoon f(x) välillä \([a,b]\) määritelty jatkuva funktio, joka saa positiivia arvoja ko. välillä.

Pinta-ala, joka käyrän y = f(x) ja x- akselin väliin välillä \([a,b]\) voidaan määrittää seuraavasti:
Jaetaan väli \([a,b]\) n:ään yhtäsuureen osaväliin, joiden leveys \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\).
integ

Pinta-alan likiarvo saadaan laskemalla summa \(\sum_{i=0}^{n}f(x_i)\Delta x\), missä \(x_i\):t ovat osavälien keskipisteitä.

Kun osavälien lukumäärä n lähestyy ääretöntä, saadaan raja-arvona kysytty pinta-ala.

\(A = \underset{\Delta x \to 0}{lim}\hspace{3mm} \Sigma f(x_i)\Delta x\)

Summalauseketta kaavan oikella puolen kutsutaan Riemannin summaksi.

Määrätyn integraalin määritelmä¶

Määritelmä

Funktion f(x) määrätty integraali a:sta b:hen \(\int_{a}^{b}f(x)dx\) määritellään Riemannin summan raja-arvona

\(\int_{a}^{b}f(x)dx = \underset{n\to \infty }{lim}\hspace{3mm} \overset{n}{\underset{i=0}{\Sigma}}f(x_i)\Delta x\)

Esim. Laske integraalin \(\int_{0}^{4} \sqrt(x) dx\) likiarvo kaavalla \(\sum_{i=0}^{n}f(x_i)\Delta x\) jakamalla väli \([0,4]\) kahdeksaan osaan.

Osavälin leveys \(\Delta x\) = 0.5. Osavälien keskipisteet \(x_i \)ovat 0.25, 0.75, 1.25, …., 3.75

\(\int_{0}^{4} \sqrt(x) dx \approx (\sqrt {0.25}+ \sqrt {0.75} + ... + \sqrt {3.25} + \sqrt {3.75})\cdot 0.5 = 5.352 \)

(vrt. Algebralaskimella saatu tarkka arvo = 5.333

Määrätty integraali lasketaan tarkasti määrittämällä funktion f(x) integraalifunktio F(x) ja käyttämällä seuraavaa lausetta:

Määrätyn integraalin laskeminen integraalifunktion avulla¶

Määrätyn integraalin laskeminen integroimalla

Olkoon F(x) funktion f(x) integraalifunktio, ts. \(F'(x) = f(x) \). Tällöin määrätty integraali voidaan laskea kaavalla

\(\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)\)

Erotusta F(b)- F(a) on tapana merkitä laskuissa \(\overset{b}{\underset{a}{/}} F(x)\) , jolloin merkitään

\(\int_{a}^{b}f(x)dx = \overset{b}{\underset{a}{/}} F(x)\)

Esim. Laske \(\int_{1}^{2} 2x dx\)

Funktion 2x integraalifunktio F(x) = \(\int 2x dx = x^2\)
(vakion C voi olettaa nollaksi, koska se häviää laskettaessa erotusta F(b)-F(a))

\(\int_{1}^{2} 2x dx = \overset{2}{\underset{1}{/}} x^2 =2^2 - 1^2 = 3 \)

Esim. Laske \(\int_{0}^{4} e^x dx\)

Funktion \(e^x\) integraalifunktio F(x) = \(\int e^x dx = e^x\)

\(\int_{0}^{4} e^x dx = \overset{4}{\underset{0}{/}} e^x =e^4 - e^0 = e^4 - 1 \approx 53.6 \)

Esim. Laske \(\int_{0}^{\frac {\pi}{2}} cos(x) dx\)

Funktion cos(x) integraalifunktio F(x) = sin(x)

\(\int_{0}^{\frac {\pi}{2}} cos(x) dx = \overset{\frac {\pi}{2}}{\underset{0}{/}} sin(x) = sin(\frac {\pi}{2}) - sin(0) = 1 - 0 = 1 \)

Määrätyn integraalin ominaisuuksia¶

Määrätyn integraalin ominaisuuksia

\(1.\) Integroimisrajat yhtä suuret

\(\int_{a}^{a}f(x)dx = 0\)

\(2.\) Integroimisrajojen vaihto muuttaa etumerkin

\(\int_{a}^{b}f(x)dx = - \int_{b}^{a}f(x)dx\)

\(3.\) Yhteenlaskuominaisuus

\(\int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx\)

Ominaisuuden nojalla funktion määrätty integraali voidaan laskea myös paloittain. Pisteen c ei välttämättä tarvitse olla välillä \([a,b]\)