Derivoimiskaavoja
Contents
Derivoimiskaavoja¶
Derivaattafunktion määrittämisen eli derivoinnin perinteinen menetelmä on derivoimiskaavojen käyttäminen. Derivoimiskaavoja löytyy matematiikan taulukkokirjoista. Derivoimiskaavat on johdettu derivaatan raja-arvomääritelmää käyttäen. Osa kaavoista on ilmeisiä.
Nykyisin derivaatan laskeminen on vielä helpompaa, koska se voidaan tehdä algebralaskimilla.
Potenssifunktion derivaatta¶
Vakiofunktion ja potenssifunktion derivaatta
Seuraavissa kaavoissa käytetään derivaatasta merkintää Df(x)
D(c) = 0 (vakiofunktion f(x) = c derivaatta = 0)
\(Dx^n = n x^{n-1}\) (potenssifunktion derivaatta)
D(x) = 1
\(D\frac {1}{x^n}\) = \(- \frac {n}{x^{n+1}}\)
Kaavojen perusteluja:
Vakiofunktion f(x) = c kuvaaja on vaakasuora viiva, jonka kulmakerroin = 0
Jaollisuusopin kaavan mukaan derivaatan määritelmän mukainen erotusosamäärä sievenee muotoon
\(f'(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}= \underset{x\to x_0}{lim}(x^{n-1}+x^{n-2}x_0+x^{n-3}x_0^2+...+x_0^{n-1})\)
\(\hspace{36mm}= x_0^{n-1}+x_0^{n-1}x_0+... + x_0^{n-1} = nx_0^{n-1}\)Suoran f(x) = x kulmakerroin eli derivaatta on 1. Kaavan voi myös johtaa sijoittamalla n=1 kaavaan (2), jolloin saadaan \(Dx^1 = 1\cdot x^0 = 1\)
Kaavaa (2) voidaan soveltaa myös, kun potenssi n on negatiivinen. Tällöin \(D\frac {1}{x^n} = Dx^{-n}=-n x^{-n-1} = -\frac {n}{x^{n+1}}\)
Laske funktion \(f(x) = x^5\) a) derivaattafunktio, b) tangentin kulmakerroin kohdassa x=2, c) tangentin kulmakerroin kohdassa x = -1.
a) \(f'(x) = Dx^5 = 5 x^4\)
b) \(f'(2) = 5*2^4 = 80\)
c) \(f'(-1) = 5*(-1)^4 = 5\)
Derivoi a) \(x^{2015}\), b) \(\frac {1}{x}\) c) \(\frac {1}{x^5}\)
a) \(Dx^{2015} = 2015 x^{2014}\)
b) \(D\frac {1}{x} = -\frac {1}{x^{1+1}}=-\frac {1}{x^2} \)
c) \(D\frac {1}{x^5} = -\frac {5}{x^{5+1}}=-\frac {5}{x^6} \)
Juurilausekkeiden derivointi¶
Potenssin derivoimiskaavan sovellus murtopotensseihin
Juurilausekkeet voidaan esittää myös potenssimuodossa käyttäen murtopotensseja:
\(\sqrt{x}=x^{\frac {1}{2}}\) , \(\sqrt[3]{x} =x^\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}\)
Juurilausekkeiden derivaatat voidaan laskea potenssin derivoimissäännöllä. Esim.
\(D\sqrt{x}= Dx^{\frac {1}{2}}=\frac {1}{2}x^{-\frac {1}{2}}= \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(D\sqrt[3]{x}= Dx^{\frac {1}{3}}=\frac {1}{3}x^{-\frac {2}{3}}= \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\)
Polynomin derivointi¶
Polynomien derivointiin tarvitaan potenssifunktion derivoimissäännön lisäksi kaksi muuta sääntöä, joiden mukaan derivointi on lineaarinen operaatio: ts. vakion voi siirtää derivaattaoperaattorin eteen ja summafunktion derivaatta on sen termien derivaattojen summa.
Derivointioperaation lineaarisuussäännöt
\(D(a f(x)) = a Df(x)\)
\(D(f(x)+g(x)) = Df(x) + Dg(x)\)
Derivoi \(-3x^3 + 5x^2 - 4x + 7\)
\(D(-3x^3 + 5x^2 - 4x + 7) =-3\cdot 3x^2+5\cdot 2x - 4\cdot 1+ 0 =-9 x^2+ 10 x -4 \)
Derivoi \(5x^2 + \frac {2}{x^2} - 5\sqrt{x} + 3\)
\(D(5x^2 + \frac {2}{x^2} - 5\sqrt{x} + 3) =10x - \frac {2\cdot 2}{x^3}-5\frac {1}{2\sqrt{x}}=10x-\frac {4}{x^3}-\frac {5}{2\sqrt{x}}\)
Erikoisfunktioiden derivoimiskaavoja¶
Tavallisimpien erikoisfunktioiden derivoimiskaavoja
\(D\hspace{2mm} sin(x) = cos(x)\)
\(D\hspace{2mm} cos(x) = - sin(x)\)
\(D\hspace{2mm} tan(x) = \frac {1}{cos(x)^2}\)
\(D\hspace{2mm} e^x = e^x\)
\(D\hspace{2mm} ln(x) = \frac {1}{x}\)
Derivoi \(5 sin(x) - 2 cos(x) - 3 ln(x) + 4 e^x\)
\(D(5 sin(x) - 2 cos(x) - 3 ln(x) + 4 e^x)\) =
\(5 cos(x) + 2 sin(x) - \frac {3}{x} + 4 e^x\)
Derivointi WolframAlpha laskimella¶
esim. WoframAlpha-komento \(\color {red} {D(-3x^3 + 5x^2 - 4x + 7)}\)
antaa vastaukseksi \(\color {blue} {-9x^2+10x-4}\)
Tulon ja osamäärän derivoimiskaavat¶
Perusfunktioista voidaan lineaariyhdistelmien lisäksi muodostaa monimutkaisempia funktioita kerto- ja jakolaskun avulla. Näiden funktioiden derivoinnissa tarvitaan tulon ja osamäärän derivoimiskaavoja.
Tulon derivoimiskaava
\(D\hspace{2mm}(f(x)\cdot g(x)) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\)
Tulon derivaatta on summalauseke, jossa on derivoitu yhtä tekijää kerrallaan muiden pysyessä ennallaan.
Periaate on sama kun tulossa on enemmän kuin kaksi funktiota.
Derivoi \(x^2\cdot sin(x)\)
Kaavan merkinnöillä \(f(x)=x^2\) ja \(g(x)=sin(x)\)
ja niiden derivaatat \(f'(x) = 2x\) ja \(g'(x) = cos(x)\)
Sijoitus kaavaan \(D\hspace{2mm}(f(x)\cdot g(x)) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\) antaa
D \((x^2sin(x)) = 2x\cdot sin(x)+ x^2\cdot cos(x)\)
Derivoi \((2x+1)\cdot ln(x)\cdot e^x\)
Nyt tulossa on kolme tekijää \(f(x)=2x+1\), \(g(x)=ln(x)\) ja \(h(x)=e^x\), joiden derivaatat ovat \(f'(x) = 2\) , \(g'(x) = \frac {1}{x}\) ja \(h'(x) = e^x\)
Tulon derivoimissäännön periaatteen mukaan saadaan kolme termiä, joissa yksi tulon \(f\cdot g\cdot h\) tekijä kerrallaan on derivoitu.
D \((2x+1)\cdot ln(x)\cdot e^x = 2\cdot ln(x)\cdot e^x + (2x+1)\cdot \frac {1}{x}\cdot e^x+(2x+1)\cdot ln(x)\cdot e^x\)
Osamäärän derivoimiskaava
\(\frac {f(x)}{g(x)} = \frac {f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}\)
Derivoi \(\frac {sin(x)}{x}\)
Osoittajan \(f(x)=sin(x)\), nimittäjän \(g(x)=x\) lisäksi tarvitaan derivaatat \(f'(x) = cos(x)\) ja \(g'(x) = 1\)
Sijoittamalla nämä osamäärän derivoimiskaavaan, saadaan
D \(\frac {sin(x)}{x} = \frac {cos(x)\cdot x-sin(x)\cdot 1}{x^2} = \frac {x\cdot cos(x)-sin(x)}{x^2}\)
Derivoi \(\frac {2x}{5x+1}\)
Osoittajan \(f(x)=2x\), nimittäjän \(g(x)=5x+1\) lisäksi tarvitaan derivaatat \(f'(x) = 2\) ja \(g'(x) = 5\)
Sijoittamalla nämä osamäärän derivoimiskaavaan, saadaan
D \(\frac {2x}{5x+1} = \frac {2\cdot (5x+1)-2x\cdot 5}{(5x+1)^2} = \frac {10x+2-10x}{(5x+1)^2}=\frac {2}{(5x+1)^2}\)
Yhdistetyn funktion derivaatta¶
Perusfunktioista voidaan muodostaa monimutkaisempia funktiota myös asettamalla niitä sisäkkäin. Niistä käytetään nimitystä yhdistetyt funktiot.
Esimerkiksi funktio y = cos(4x+1) on muodostettu kosinifunktiosta, jonka sisällä on polynomi 4x+1. Funktiota y = cos(x) kutsutaan ulkofunktioksi ja funktiota y = 4x+1 sisäfunktioksi
Funktion \(e^{-2x^2}\) ulkofunktio on y = \(e^x\) ja sisäfunktio \(-2x^2\)
Funktion \((3x+1)^4\) ulkofunktio on y = \(x^4\) ja sisäfunktio y = 3 x + 1
Yhdistetyn funktion derivaatta
\(D\hspace{2mm} g(f(x)) = g'(f(x))\cdot f'(x)\)
Kaavaa kutsutaan usein ketjusäännöksi, mikä viittaa siihen, että yhdistetyn funktion derivaatta on ulkofunktion derivaatan ja sisäfunktion derivaatan tulo. Mikäli yhdistetty funktio koostuu useammasta kuin kahdesta sisäkkäisestä funktiosta, jokainen ketjussa oleva funktio derivoidaan.
Derivoi a) \(cos(4x+1)\) b) \(e^{-2x^2}\) c) \((3x+1)^4\)
a) Ulkofunktio g(x)= cos(x) ja sisäfunktio f(x) = 4x+1.
Derivaatat g’(x)=-sin(x) ja f’(x) = 4 =>
D \(cos(4x+1) = g'(f(x))\cdot f'(x) = -sin(4x+1)\cdot 4 = -4 sin(4x+1)\)
b) Ulkofunktio \(g(x)= e^x\) ja sisäfunktio \(f(x) = -2x^2\).
Derivaatat \(g'(x)=e^x\) ja \(f'(x) = -4x\) =>
D \(e^{-2x^2} = g'(f(x))\cdot f'(x) = e^{-2x^2}\cdot (-4x) = -4x e^{-2x^2}\)
c) Ulkofunktio \(g(x)= x^4\) ja sisäfunktio f(x) = 3x+1.
Derivaatat \(g'(x)=4 x^3\) ja f’(x) = 3 =>
D \((3x+1)^4 = g'(f(x))\cdot f'(x) = 4(3x+1)^3\cdot 3 = 12 (3x+1)^3\)
Yhdistetyn funktion derivoimiskaavan käyttöä helpottaa, kun kaava puretaan useaksi kaavaksi tavallisille ulkofunktoille.
Yhdistetyn funktion derivointikaavoja eri ulkofunktioille
\(D\hspace{2mm} sin(f(x)) = cos(x)\cdot f'(x)\)
\(D\hspace{2mm} cos(f(x)) =-sin(x)\cdot f'(x)\)
\(D\hspace{2mm} e^{f(x)} = e^{f(x)}\cdot f'(x)\)
\(D\hspace{2mm} ln(f(x)) = \frac {f'(x)}{f(x)}\)
\(D\hspace{2mm} {f(x)}^n = n {f(x)}^{n-1}\cdot f'(x)\)
\(D\hspace{2mm} \sqrt{f(x)} = \frac {f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\)
Esimerkkejä:
Laske D \(sin(5x)\)
D \(sin(5x)\) =\(cos(5x)\cdot 5 = 5\hspace{1mm}cos(5x)\)
Laske D \((4x+7)^3\)
D \((4x+7)^3\)=\(3(4x+7)^2\cdot 4 = 12\hspace{1mm}(4x+7)^2\)
Laske D \(cos(2x^2)\)
D \(cos(2x^2)\) = \(-sin(2x^2)\cdot 4x = -4x\hspace{1mm}sin(2x^2)\)
Laske D \(ln(2x+3)\)
D \(ln(2x+3)\) = \(\frac {2}{2x+3} \)
Laske D\(\sqrt{x^2+5}\)
D\(\sqrt{x^2+5}\) = \(\frac {1}{2\sqrt{x^2+5}}\cdot 2x =\frac {x}{\sqrt{x^2+5}}\)